消費者のブランド選択行動は、効用関数および効用最大化原理を用いてモデル化される。いま、消費者 \(h\) ・ブランド \(i\) ・時期 \(t\) における効用関数 \(U_{iht}\) が
\[ U_{iht} = V_{iht} + e_{iht} \]
のように書けると仮定する。ただし、 \(V_{iht}\)は諸々のマーケティング活動等によって規定される確定項であり、 \(e_{iht}\) はその他の確率的部分（例：心理的な揺れ）を表している。効用最大化原理とは、「消費者は自身の効用を最大にするような選択肢を取る」という仮定のことである。消費者は常に合理的なのか？と問われれば恐らくNOだが、効用関数には確率的揺れを仮定しているため、そのあたりの「場当たり性」のようなものも考慮されている。
いま、ブランドAとBの選択肢があるとする。またシンプルに確定項が \(V_{iht} = p_{iht} \beta\) のように各ブランドの値段によってのみ規定されるとする。この場合ブランドAを選択する確率は
\[ P(p_{Aht}\beta + e_{Aht} > p_{Bht}\beta + e_{Bht}) = P(e_{Aht} - e_{Bht} > -(p_{Aht}-p_{Bht})\beta) \]
と書ける。確率変数 \(e_{Aht}-e_{Bht}\)に極値分布を仮定する場合をロジットモデル、正規分布の場合をプロビットモデルと呼ぶ。途中式は省略するが、ロジットモデルの場合のブランド選択確率は
\[ \begin{aligned} P(\text{Choice A}) &= (1 + \exp\{(p_{Aht}-p_{Bht})\beta\})^{-1} \\ P(\text{Choice B}) &= 1 - P(\text{Choice A}) \end{aligned} \]
と導出できる。簡単な実験により、最尤推定法でパラメータ \(\beta\) を求めてみよう。
# Define Choices
choices <- c(1,0,0,1,1) # 1:A, 0:B
price_A <- c(100, 120, 120, 100, 100)
price_B <- c(110, 110, 110, 110, 110)
# Log-Likelihood of Logit model
log_likelihood <- function(beta){
prob_A <- 1 / (1 + exp((price_A - price_B) * beta))
loglikelihood <- sum(choices * log(prob_A) + (1-choices) * log(1 - prob_A))
return(-loglikelihood)
}
# Estimation using optim function
init_value <- 0
result <- optim(par = init_value, fn = log_likelihood, method = "BFGS")
print(result$par)## [1] 2.15183\(\beta\) がプラスということは、値段が低い方が相対的に選択されやすいことを意味しており、推定は上手く行っていそうだ。